domingo, marzo 30, 2008

Ejercicios de convolucion

1. Ejercicios de convolución continua con soporte infinito.
Realizar la convolución entre las siguientes funciones.
1a) f(t)=1 para todo t, g(t)=exp(- t ); para todo t
1b) g(t)=exp(- t ); para todo t; (t)=1; para todo t (debe ser idéntica a 1a) )
1c) f(t)=sign(t) para todo t, g(t)=exp(- t ); para todo t
1d) f(t)=sign(t); g(t)=1 para t<0,>0
1e) f(t)=sen(t); g(t)=1;
1f) f(t)=sen(t);g(t)=sign(t);
1g) f(t)=sen(t);g(t)=sign(t);
1h) f(t)=sen(t);g(t)=sign(t);

2. Ejercicios de convolución continua con soporte positivo
Realizar la convolución entre las siguientes funciones.

2a) f(t)=1(t), g(t)=exp(-t)·1(t);
2b) f(t)=sin(t)·1(t); g(t)=1(t);
2c) f(t)=exp(-t)·1(t); g(t)=f(t);
2d) f(t)=(1-exp(-1)); g(t)=1(t);
2e) f(t)=exp(-t)·sin(t)·1(t); g(t)=1(t);
2f) f(t)=t·1(t);g(t)=exp(-t);
2g) f(t)=t·1(t), g(t)=1(1);
2h) f(t)=exp(-1)·1(t); g(t)=sin(t)·1(t);

3. Ejercicios de convolución continua de soporte compacto. Recomendación. Para cada caso graficar f(tau), g(t-tau), o f(t-tau) y g(tau) (según se decida)
3a) f(t)=t·(1(t)-1(t-2)); g(t)=(1(t)-1(t-2));
3b) f(t)=t·(1(t)-1(t-2)); g(t)=(1(t-3)-1(t-4));
3c) f(t)=t·(1(t)-1(t-2)); g(t)=(1(t+1)-1(t+2));
3d) f(t)=t·(1(t-3)-1(t-5)); g(t)=(1(t-4)-1(t-8));
3f) f(t)=exp(-t)·(1(t)-1(t-3)); g(t)=(1(t)-1(t-5);
3g) f(t)=exp(-t)·(1(t)-1(t-3)); g(t)=(1(t)-1(t-3);
3h) f(t)=exp(-t)·(1(t)-1(t-3)); g(t)=(1(t)-1(t-1);

4. Ejercicios mixtos de varios soportes (identificar los soportes previamente)
4a) f(t)=exp(- t ); g(t)=1(t)-1(t-3);
4c) f(t)=1(t); g(t)=1(-t);
4c) f(t)=exp(-t)·1(t); g(t)=1(-t);
4d) f(t)=exp(t)*1(-t); g(t)=1(-t);
4e) f(t)=t·(1(t)-1(t-2)); g(t)=1(t);
4f) f(t)=t·(1(t)-1(t-2)); g(t)=1(-t);
4g) f(t)=t·(1(t)-1(t+3)) ; g(t)=1;
4h) f(t)=-t·(1(t-1)-1(t-3)) ; g(t)=1;

5. Compruebe las propiedades de la convolución con los siguientes ejemplos.
5a) Conmutatividad: usando las funciones del ejercicio 2a); mostrar que f(t)*g(t)=g(t)*f(t);
5b) Asociatividad: f(t)=1(t), g1(t)=exp(-t)·1(t); g2(t)=sin(t)·1(t); mostrar que f(t)*[g1(t)*g2(t)] = [f(t)*g1(t)]*g2(t);
5c) Distributividad c/r a la suma: f(t)=t·(1(t)-1(t-2)); g1(t)=1(t); g2(t)=-1(t-2); Mostrar que f(t)*[g1(t)+g2(t)]= f(t)*g1(t)+f(t)g2(t)
5d) Elemento identidad: f(t)=exp(- t ); g(t)=delta(t); mostrar que la convolución es igual a f(t).
5e) Diferenciación: d[f(t)*g(t)]/dt; con f(t)=sin(t); g(t)=exp(-t); mostrar que d[f(t)*g(t)]/dt= {d[f(t)]/dt}*g(t)= f(t)*{d[g(t)]/dt}

6. Convolución discreta. Desarrolle los siguientes ejercicios manualmente y compruebe luego los resultados con Matlab.
6a) f(n)=[1 2 3 4 5]; g(n)=[ 60 70 80]
6b) f(n)=[1 2 3 4 5]; g(n)=[ 80 70 60]
6c) f(n)=[1 2 3 4 5]; g(n)=[ 60 70 60]
6d) f(n)=[1 2 3 4 5]; g(n)=[ 60 70 80 90 100 110 120]
6e) f(n)=[ 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 6 0 3 0 1 9]; g(n)=[1/3 1/3 1/3];
6f) Calcule las matrices de convolución para las funciones f y g del ejercicio 6a) en los siguientes casos: Vector columna F·g=h; G·f=h; Vector fila g·F=h; f·G=h;
6g) Compruebe que multiplicando la matriz de convolución por el vector en cada caso se obtiene el mismo resultado.
6h) Para la función f del ejercicio 6a) calcule las matriz de convolución F en los 2 casos posibles, cuando g es un vector fila y cuando g es un vector columna, en los casos en que dim(g)=3, dim(g)=5 y dim(g)=7;
6i) Aprovechando las matrices obtenidas en el ejercicio 6g) y los resultados h obtenidos en 6h), calcule en cada uno de los cuatro casos, la deconvolución para encontrar el vector faltante.
6j) Compruebe que las matrices FT·F, FFT, GT·G y G·GT son simétricas definidas positivas.
6k) Compruebe para cada uno de los ejercicios anteriores los resultados con Matlab.

Comments:
hola ke tal, pues soy estudiante de ing.biomedica en el politecnico de México, llevo la materia de procesamiento digital de señales e imagenes, y tengo q realizar un programa en matlab que me de la matriz de convolucion, introduciendo cualkier vector. ¿como puedo programar eso???
 
bueno quisiera saber que es la funcion:

f(t)=1(t)

Gracias
 
f(t)=1(t) creo que es una recta
 
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